قريبا

فرضية ريمان



أثار اختراع التفاضل والتكامل التفاضل والتكامل أحد أعظم التطورات في الفكر الغربي. أدى العمل الضخم الذي قام به نيوتن ولايبنز إلى تقدم العلم في جميع مجالاته. كان عالم الرياضيات السويسري ليونارد يولر (1707-1783) أحد رواد تطبيق طرق حساب التفاضل والتكامل في مشاكل نظرية الأعداد التي أدت إلى نظرية الأعداد التحليلية. ومع ذلك ، فإن عالم الرياضيات الألماني جي.

ثورة ريمان في التحليل الرياضي ، والهندسة والفيزياء الرياضية. في نظرية الأرقام التحليلية ، وكذلك في مجالات الرياضيات الأخرى ، لا تزال أفكارها الأساسية لها تأثير عميق. أصناف ريمان ، أسطح ريمان ، معادلات كوشي ريمان ، فرضية ريمان ، والعديد من الموضوعات الأخرى هي من بين أعماله.

كان لدى ريمان حدس قوي ودقيق ، ولكن على الرغم من عبقريته وإبداعه ، كانت حياته متواضعة للغاية. توفي ريمان قبل الأوان من مرض السل. خجله ، افتقاره للقدرة كمتحدث ، وموهبته الفطرية في الرياضيات ، منعته من متابعة مسيرته كعالم لاهوت ، على عكس إرادة والده. كان عالم الرياضيات الألماني ليجون ديريشليت (1805-1859) معلمه وكان له تأثير كبير على عمله.

في عام 1851 ، أكمل ريمان شهادة الدكتوراه بتوجيه من عالم الرياضيات الألماني الكبير ك. ف. غاوس (1777-1855) الذي قال: "يمتلك ريمان أصالة خصبة بشكل رائع." حقيقة غريبة هي أن مفتاح بعض المشاكل المعاصرة الأكثر أهمية يكمن في التخمين الذي قدمه ريمان.

يُطلق على هذا التخمين ، الذي يُطلق عليه فرضية ريمان ، واحدة من أهم المشكلات في الرياضيات.

بدأ كل شيء عندما حدد أويلر في عام 1740 وظيفة رمزية بالحرف اليوناني ς (اقرأ "زيتا"). تقوم دالة Euler zeta بربط كل رقم حقيقي أكبر من 1 برقم حقيقي جديد

.

ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه عن طريق استبدال الصورة في رقم 2 ، وجد يولر ذلك (2) = π2/ 6. وأشار إلى أن هذه الوظيفة ستعطي معلومات عن نمط الأعداد الأولية ، وبالتالي ولدت نظرية الأعداد التحليلية ، أي دراسة الأعداد الأولية من خلال حساب التفاضل والتكامل المطبقة على التحقيق في خصائص بعض الوظائف المعقدة.

الدوال المركبة هي وظائف محددة في مجموعة الأعداد المركبة التي تفترض وجود قيم معقدة. لا يمكنك رؤية رسم بياني لهذه الوظيفة لأنه يحتوي على بعد أربعة. ومع ذلك ، من الممكن بمساعدة البرنامج الجيد الحصول على الرسوم البيانية للأجزاء الحقيقية والخيالية لهذه الوظيفة.

لاحظ أن هناك العديد من وظائف زيتا ، وكثيرا ما يقول بعض علماء الرياضيات أن نظرية الأعداد هي دراسة وظائف زيتا. ومع ذلك ، ما هي العلاقة بين الأعداد الأولية ووظيفة uleer zeta؟

أوضح أويلر النظرية المثيرة للإعجاب التي تنص على أنه لأي رقم حقيقي الصورة أكبر من 1 ، يتم التعبير عن وظيفة زيتا كمنتج لا حصر له من عوامل النموذج

مهما كان الرقم الأولي صأي

.

تم التحقيق في هذه الوظيفة من قبل ريمان بالتفصيل عندما استبدل العدد الحقيقي الصورة من خلال عدد مركب ، مما جعل وظيفة زيتا وظيفة معقدة. هذا هو ، ς (الصورة) هو الرقم المركب:

، من أجل Re (الصورة) > 1.

إعادة (الصورة) يعني الجزء الحقيقي من العدد المعقد.

لم يتم تعريف وظيفة زيتا لجميع الأرقام المعقدة. ومع ذلك ، أدرك ريمان ، باستخدام تقنية نظرية الوظيفة المعقدة ، أنه كان من الممكن تمديد وظيفة زيتا لتشمل جميع ما عدا الرقم المركب. ض = 1. وبالتالي ، فإن وظيفة زيتا تسمى الآن وظيفة ريمان زيتا.

في عام 1859 نشر ريمان مقالة رائعة من ثماني صفحات ، مقالته الوحيدة في نظرية الأعداد ، حيث استخدم وظيفة زيتا للتحقيق في نمط أبناء العم. كان هدفه هو إظهار التخمين Gauss ، المعروف الآن باسم نظرية الأعداد الأولية ، والتي تنص على أن عدد الأعداد الأولية بين 1 و سعندما س إنها كبيرة جدًا س مقسوما على لوغاريتم الطبيعي سهذا هو ،

س / قانون الجنسية س.

على الرغم من أن ريمان لم ينجح ، إلا أن عمله كان مهمًا جدًا لتطوير نظرية الأرقام التحليلية. تم الحصول على العديد من النتائج من قبله عند التحقيق في خصائص هذه الوظيفة. أظهر ريمان أن خصائص هذه الوظيفة ترتبط ارتباطًا وثيقًا بتوزيع الأعداد الأولية ، أي التسلسل الطبيعي للأعداد الأولية في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة.

حدد ريمان مسار التقدم المستقبلي في هذا التحقيق في سلسلة من التخمينات القائمة على أسس جيدة ، بما في ذلك فرضية ريمان الشهيرة. في عام 1896 ، أظهر عالم الرياضيات الفرنسي ج. هادامارد وعالم الرياضيات البلجيكي سي جيه دي لا فاليي - بوسان بشكل مستقل نظرية الأعداد الأولية باستخدام الأفكار التي طورها ريمان.

النظر في المعادلة ς (ق) = 0. لذلك أي عدد مركب الصورة التي تحل هذه المعادلة تسمى المعادلة "صفر".

لاحظ Riemann أولاً أن الأعداد الصحيحة السالبة -2 ، -4 -6 ، ... هي أصفار للدالة. ثم لاحظ أنه يجب أن يكون هناك أصفار معقدة لا حصر لها ، ومن ثم تخمين بجرأة أن أي صفر مجمع آخر من وظيفة زيتا لديه جزء حقيقي يساوي ½ ، وهذا هو ، لديهم شكل الصورة = ½ + ب ط.

لذلك ، كل الأصفار للدالة zeta التي ليست أرقامًا حقيقية ستكون على الخط العمودي. س = ½. وغالبا ما يسمى هذا الخط الخط الحرج.

أول شيء يجب ملاحظته هو أن أصفار الخط الحرج ليست حقيقية ، فهي موضوعة بشكل متناظر بالنسبة للمحور الحقيقي وكذلك بالنسبة للخط الحرج نفسه. هذه هي فرضية ريمان الشهيرة. هذه بلا شك مشكلة مهمة للغاية ، لأن معرفة الأصفار لوظيفة zeta تترجم إلى فهم أعمق لتوزيع الأعداد الأولية.

في النصف الأول من عام 2004 ، أعلن عالم الرياضيات الفرنسي لويس دي برانجس دي بورسيا عن إثبات هذا التخمين وهو قيد الفحص من قبل متخصصين. كان عالم الرياضيات هذا قد أعلن سابقًا أنه قد أظهر هذا التخمين الشهير ، ولكن تم العثور على أخطاء في مظاهراته.

تمارس الرياضيات سحرًا كبيرًا لدى الرجال ، كما يحفز بعض أصحاب الملايين ، وليس علماء الرياضيات ، الأبحاث الرياضية. هذا هو حال الأمريكي ، محبوب الصندوق الاستثماري ومحبي الرياضيات ، لاندون كلاي ، الذي أنشأ في كامبريدج ، ماساتشوستس ، وهي منظمة غير ربحية لتعزيز وتمويل البحوث في الرياضيات: معهد كلاي للرياضيات (CMI). ).

في اجتماع عقد في كوليج دو فرانس في باريس في مايو 2000 ، أعلن مجلس الكنائس العالمي عن عرضه بسبع جوائز ، تبلغ قيمة كل منها مليون دولار ، لإيجاد حلول لكل واحدة من القضايا السبع الأكثر أهمية ، الرياضيات أصعب وأكثرها تحديا. اختارت لجنة صغيرة من علماء الرياضيات البارزين اليوم هذه المشكلات ، والتي تسمى الآن "مشاكل الألفية".

تم اعتبار فرضية ريمان واحدة من مشكلات الألفية ، حيث إنها المشكلة الأكثر أهمية في الرياضيات التي لم يتم حلها والتي لها عواقب في الفيزياء وانعكاساتها العميقة في نظرية المعلومات ، مثل قضية أمان الإنترنت. هذه العواقب ، التي تمثل مكونًا أساسيًا في حياة اليوم ، ستكون موضوع العمود التالي.

العودة إلى الأعمدة

<

فيديو: Riemann Hypothesis - Numberphile (يوليو 2020).